Differentialrechnung

Hat eine Funktion keinen linearen oder konstanten Verlauf, kann man die Steigung an einem bestimmten Punkt nicht direkt erkennen. Diesen Sachverhalt nennt man Tangentenproblem.

Im gezeigten Bild ist eine Funktion f gegeben, die im Punkt P einmal von einer Sekante geschnitten und von einer Tangente tangiert wird. Die Steigung der Sekante (Dreieck) ist einfach auszurechnen, wenn die Funktionsbeschreibung, und zugleich die Punkte x und x+h auf der X-Achse bekannt sind. Die Breite h ( Dx) ist x+h minus x. Die Höhe des Dreiecks ( Dy) ist der Funktionswert f(x+h) minus f(x).

Die Steigung des Dreiecks ist Allgemein:

m_s = Gegenkthete / Ankathete = Dy/Dx

Also ist die Sekantensteigung m_s:

x und –x entfällt

1.3 Die Steigung im Punkt P (der Differentialquotient):

Nun ist aber die Sekantensteigung nicht die Steigung im Punkt P. Der Trick ist nun den Punkt Q auf der Funktion zum Punkt P zulaufen zu lassen, so dass sich aus der Sekante die Tangente ergibt, wenn Q und P gleich sind. Dabei wird h immer kleiner und wird schließlich Null.

Man sagt: Die Tangentensteigung ist der Grenzwert der Sekantensteigung wenn h gegen Null geht. Hier ist eine Flash-Animation "Die Ableitung als Grenzwert" zur Veranschaulichung.

Das ist der Differentialquotient.

1.4 Anwendung für den Differentialquotienten

Gegeben ist die Gleichung 2. Grades

Gesucht wird nun die Steigung der Funktion im

Punkt x = 2.

In die Formel für die Sekantensteigung

setzen wir unsere Funktionsgleichung ein, indem für jedes x in der Funktionsgleichung (x+h) eingesetzt wird und x² noch mal abgezogen wird. In den Nenner kommt dann noch h, fertig ist die Formel zum Differentialquotient.

Klammer auflösen

x² fällt raus

h wird gekürzt

Da wir uns bereits überlegt haben, dass beim Zusammenlaufen der Punkte P und Q, h gegen Null geht, gilt für die Tangentensteigung m_t

Da h gegen Null geht fällt es raus und m_t ist

Also gilt für jeden Punkt auf der Funktion die Tangentensteigung

In der Aufgabenstellung am Anfang war nach der Tangentensteigung im Punkt x=2 gefragt also ist m_t = 2*x = 2 * 2 = 4

Die Steigung der Tangente im Punkt x = 2 beträgt 4.

1.5 Die Tangentensteigung der Funktion f(x)=3x²

Gegeben ist jetzt die Funktion

Gesucht ist wieder die Tangentensteigungsfunktion.

Funktion einsetzen

Klammer auflösen

3x² fällt raus

h wird gekürzt

Da h gegen Null geht gilt

Jetzt kann man für jeden Punkt auf der Funktion f(x)=3x² die Tangentensteigung bestimmen.

Beispiel:

Gesucht ist die Steigung im Punkt x = 3

m_t = 6 * x = 6 * 3 = 18

Die Steigung der Tangente im Punkt x = 3 beträgt 18.

1.6 Die Tangentensteigung der Funktion f(x)=3x²-2x+3

Wenn die Funktionsgleichung komplexer wird, kann man beim Einsetzen einfach folgende Regel beachten.

Textfeld: Für jedes x in der Funktionsgleichung (x+h) einsetzen, und dann die Funktionsgleichung einfach noch mal abziehen. In den Nenner kommt dann noch h und fertig ist der Differentialquotient.

Also gilt:

eingesetzt in

ergibt

ausmultiplizieren

Zusammenfassen

h kürzen

Für jeden x-Wert der Funktion f(x)= 3x²-2x+3 ist die Tangentensteigung m_t = 6x - 2

2 Die 1. Ableitung der Funktion f(x)

In der Mathematik wird die Tangentensteigung einer Funktion f(x) als 1. Ableitung bezeichnet, und mit f’(x) bezeichnet.

Den mühsamen Fußweg zur ersten Ableitung, über den Differentialquotienten, haben wir auf den vorherigen Seiten ausführlich behandelt.

Allerdings gibt es für die meisten Funktionen Ableitungsregeln, die uns das Leben erheblich vereinfachen.

2.1 Ableitungsregel bei einfachen Potenzfunktionen

f (x) = x² f’ (x) = 2x

f (x) = x³ f’ (x) = 3x²

f (x) = xⁿ f’ (x) = n*x ^n-1

Bei Potenzfunktionen gilt allgemein: Der Exponent rückt vor das x , und der Exponent wird um 1 verringert.

2.2 Ableitungsregel bei Potenzfunktionen mit Faktor vor der Potenz

f (x) =3 x² f’ (x) = 3*2x ¹= 6 x

f (x) = 4 x ⁴ f’ (x) = 4*4 x ³ = 16 x ³

f (x) = m xⁿ f’ (x) = m*n*x ^n-1

Steht ein Faktor vor der Funktion, bleibt dieser Faktor erhalten und wird einfach mit multiplitiert.

2.3 Ableitungsregel bei Summen und Differenzen von Potenzfunktionen

f (x) =3 x² + 2x f’ (x) = 3*2x ¹+ 2*1x⁰= 6 x + 2

f (x) = m xⁿ + k x^l f’ (x) = m*n*x ^n-1+ k*l*x^l-1

Summen und Differenzen werden gliedweise abgeleitet.

Beispiel:

f (x) = 0,5x³ + 3x² - 5x + 3

f’(x) = 1,5x² + 6x – 5

Wer aufgepasst hat sieht, dass das Absolutglied (Glieder ohne x) am Ende rausgeflogen ist. Warum das so ist wird auf der nächsten Seite erklärt.

2.4 Kleiner Ausflug in die Potenzen

Für alle die im Potenzrechnen nicht mehr so fit sind, hier ein paar Regeln

x⁰ = 1 Eine beliebige Zahl hoch null ist immer 1

x¹ = x Eine Zahl hoch 1 ist immer die Zahl selbst

x² = x * x

x³ = x * x * x

Im Beispiel auf der vorherigen Seite konnte man sehen, dass aus 5x in der Funktionsgleichung nur die 5 übrig blieb.

5x = 5 * x¹ Man kann für jedes x auch x¹ schreiben.

Nach der Ableitungsregel für Potenzen f’(x)= n*x^n-1 gilt:

5 * 1 * x ⁰ x ⁰ = 1

5 * 1 * 1 = 5 Es bleibt also nur die 5 übrig.

Ein Absolutglied in der Funktion

Eine Zahl am Ende der Funktionsgleichung, der Absolutfaktor, verschiebt eine Funktion nur auf der y-Achse, je nach Vorzeichen, noch oben oder nach unten. An der Steigung der Funktion in jedem beliebigen Punkt auf dem Funktionsgraph ändert der Absolutfaktor nichts. Das bedeutet aber, dass er beim Ableiten entfällt, da die Ableitung ja nur die Steigung in einem Punkt ausdrückt.

Ein Absolutglied in einer Funktionsgleichung fällt beim Ableiten raus

Beispiel:

Die obenstehende Grafik zeigt bei

1 f (x)=0,5x³ + 3x² - 5x + 3 und bei

2 f (x)=0,5x³ + 3x² - 5x

Wie man sieht ist der Graph bei 1 einfach um 3 nach oben verschoben.

(1 schneidet y bei 3, 2 bei 0)

Die rote Kurve zeigt die 1. Ableitung beider Funktionen.

3 f (x)=1,5x² + 6x – 5

Wie man sieht, hat das Absolutglied keine Auswirkung auf die Ableitung.

3 Ableitungsregeln verschiedener Funktionen

3.1 Die Konstante Funktion.

Ausgangsfunktion f(x) = c

1. Ableitung f‘(x) = 0

Anmerkung: Die konstante Funktion hat als erste Ableitung immer 0, da sie nirgends eine Steigung aufweist.

3.2 Die Lineare Funktion

Ausgangsfunktion f(x) = mx + c

1. Ableitung f‘(x) = m

Anmerkung: Nur der Faktor bleibt erhalten, da ja nur er das Maß für die Steigung der Funktion ist. X und die Konstante c fallen raus.

3.3 Die Potenzfunktion ohne Faktor

Ausgangsfunktion f(x) = xⁿ

1. Ableitung f‘(x) = n × x^n-1

Anmerkung: Der Exponent wandert vor das x und wird selbst um eins verringert.

Allgemein gilt : f‘(x) = n × x ^n-1

3.4. Die Potenzfunktion mit Faktor

Ausgangsfunktion f(x) = a × x ⁿ

1. Ableitung f‘(x) = a ×n × x ^n-1

Anmerkung: Der Exponent wandert wieder vor das x und wird dort mit a multipliziert. Der Exponent selbst wird wieder um eins verringert. Der Faktor vor der Funktion wandert unverändert vor die abgeleitete Funktion.

Der Faktor bleibt erhalten!

3.5 Die ganzrationale Funktion

Ausgangsfunktion

f(x) = a × x ⁿ + b × x^m + c × x

1. Ableitung

f‘(x) = an × x ^n-1 + bm × x^m-1 + c

Anmerkung: Die ganzrationale Funktion wird Gliedweise wie die normale Potenzfunktion abgeleitet. Das heißt in jedem Glied wird der Exponent wieder mit dem Faktor vor dem x multipliziert. Der Exponent wird dann wieder um eins vermindert.

3.6 Die Sinusfunktion

Ausgangsfunktion f(x) = sin (x)

1. Ableitung f‘(x) = cos (x)

2. Ableitung f(x) = - sin (x)

Anmerkung: Die Ableitung der Sinusfunktion ist einfach um +90° ( Pi/2) phasenverschoben. Das bedeutet aus Sinus wird Kosinus. Verschiebt man noch weiter zur 2. Ableitung wird daraus der negative Sinus.

3.7 Die Wurzelfunktion

Ausgangsfunktion

f(x) = Öx

1. Ableitung

Anmerkung: Die Ableitung der Wurzelfunktion kann man am einfachsten erklären, wenn man die Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten betrachtet.

f (x) = Öx = x ^½

Nun gilt die allgemeine Regel für Potenzen. Die Potenz kommt vor das x und wird um 1 verringert.

f‘ (x) = ½ × x ^-½

Jetzt ist der Exponent negativ und kann zur 2 in den Nenner wenn das Vorzeichen positiv wird.

f‘ (x) = 1

2 × x ^½

Zuletzt macht man aus derPotenz im Nenner wieder die Wurzel und hat damit die endgültige Ableitung.

3.8 Die Funktion 1/x

Ausgangsfunktion

f(x) = 1/x

1.Ableitung

f‘(x) = - 1/x²

Anmerkung: Da der Ausdruck 1/x auch in Potenzschreibweise dargestellt werden kann, ist er auch mit der Potenzregel differenzierbar.

x ^-2kommt jetzt wieder in den Nenner!

Über die Kehrwertregel kommt man zum gleichen Ergebnis. Man kann sie auch leicht anwenden, wenn in der Ausgangsfunktion x in höherer Potenz im Nenner steht.

Die Regel besagt: y=1/v dann ist y‘= -v‘/v²

Beispiel: f (x) = 1 / x³

dann ist v‘= 3x²

und v² = (x³)² = x⁶

3.9 Die Ableitung eines Faktors vor der Sinusfunktion

Ausgangsfunktion

y = a × f(x)

1.Ableitung

y = a × f‘ (x)

Anmerkung: Der Faktor vor einer Funktion bleibt auch in der Ableitung unverändert erhalten.

Beispiel: y = 5 × sin (x) y‘ = 5 × cos (x)

Da der Faktor hier nur die Amplitude der Sinusfunktion ist, bleibt er auch in der Ableitung unverändert erhalten. Das gilt für alle Funktionen vor denen ein Faktor steht.

3.10 Die Ableitung der Summe mehrerer Funktionen (Summenregel)

Ausgangsfunktion

y = a × f(x) + b × g(x) + c × h(x)

1. Ableitung

y‘ = a × f‘(x) + b × g‘(x) + c × h‘(x)

Anmerkung: Die Faktoren vor den Einzelfunktionen bleiben wieder erhalten, die Einzelfunktionen selbst werden gliedweise abgeleitet.

Beispiel:

f(x) = 3 × sin(x) + 2 × Öx + 0,5 x²

f‘(x) = 3 × cos(x) + 2 × 1/(2×Öx) + 0,5 × 2x

f‘(x) = 3 × cos(x) + Öx + x

Besteht eine Funktion aus einer Summe mehrerer Funktionen, so wird jeder Summand einzeln differenziert.

3.11 Die Ableitung des Produktes mehrerer Funktionen (Produktregel)

Besteht eine Funktion aus mehreren Funktionen, die miteinander multipliziert werden, so kann nicht gliedweise differenziert werden.

Die Produktregel sagt:

f (x) = g(x) ´ f(x)

f ’(x) = g’(x) ´ h(x) + g(x) ´ h’(x)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f (x) = x² ´ sin (x).

Gesucht ist die 1. Ableitung

Hier ist also g(x) x²

und h(x) sin (x)

Eingesetzt in die Produktregel

f ’(x) = 2x ´ sin(x) + x² ´ cos(x)

3.12 Die Ableitung des Quotienten mehrerer Funktionen (Quotientenregel)

Besteht eine Funktion aus mehreren Funktionen, die durcheinander geteilt werden, so kann nicht gliedweise differenziert werden.

Die Quotientenregel sagt:

f (x) = g(x) / f(x)

f ’(x) = g’(x) ´ h(x) - g(x) ´ h’(x)

( h(x) )²

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f (x) = x² / sin (x).

Gesucht ist die 1. Ableitung

Hier ist also g(x) x²

und h(x) sin (x)

und (h(x))² sin²(x)

Eingesetzt in die Quotientenregel

f ’(x) = 2x ´ sin(x) - x² ´ cos(x)

sin²(x)

3.13 Die Ableitung von verketteten Funktionen

Besteht eine Funktion aus mehreren Funktionen, die miteinander verkettet sind, kann nicht gliedweise differenziert werden. Hier muss die Kettenregel angewendet werden. Die Kettenregel sagt aus, dass die Ableitung der inneren Funktion mit der Ableitung der äußeren Funktion multipliziert werden muss, um die Ableitungsfunktion der Gesammtfunktion zu erhalten.

Die Kettenregel sagt:

f (x) = g ( h (x) )

f ’(x) = g ‘ ( x ) * h ‘ ( x )

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f (x) = sin ( x² )

Gesucht ist die 1. Ableitung.

Hier ist

g (x) = sin ( x )

( das x in der Klammer ist natürlich x², wird aber weggelassen, da es zur Ableitung der äußeren Funktion nicht notwendig ist. )

und

h (x) = x²

Die Ableitung von g ( x )

Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion, also ist

g ‘ ( x ) = cos ( x )

Das x in der Klammer wird jetzt wieder durch das x² ersetzt:

g ‘ ( x ) = cos ( x² )

Die Ableitung von h ( x )

h ’ ( x ) = 2x

Eingesetzt in die Produktregel:

f ’(x) = cos ( x² ) * 2 x

3.14 Ableitung der Exponentialfunktion

Bei den bisherigen Funktionen hatten wir noch nie x im Exponenten. Dadurch haben wir bis jetzt auch noch keine Möglichkeit, diese Funktionen abzuleiten.

Sehen wir uns zunächst einige Funktionen an:

Zunächst fällt auf, dass alle Funktionen durch den Punkt (0/1) gehen. Das ist auch logisch, da jede reelle Zahl hoch 0 per Definition 1 ergibt.

Eine Besonderheit unter den Exponentialfunktionen bildet die e-Funktion, die als Basis die Zahl e hat. e ist eine irrationale Zahl (e = 2,7182818......) die auf den Mathematiker Leonhard Euler zurückgeht.

Genau diese e-Funktion bildet den Schlüssel für die Ableitungen aller Exponentialfunktionen. Zuerst muss man zwei Dinge Wissen:

1. Jede Exponentialfunktion kann auf die e-Funktion zurückgeführt werden.

2. Die Ableitung der Funktion e^x ist e^x.

Wie wandelt man eine beliebige Funktion in eine e-Funktion um?

Es gilt:

Man kann also jede Funktion umwandeln in dem man als Basis e wählt und in den Exponenten einsetzt.

Beispiele:

( Kann man mit dem Taschenrechner kontrollieren )

3.14.1 Vorgehensweise beim Ableiten

Beispiel:

Finden Sie die erste Ableitung der Funktion

1. Umwandeln in eine e-Funktion

2. e-Funktion ableiten

Sieht man sich die Funktion genauer an, fällt auf dass es eigentlich eine Verkettung von und ist. Und bei verketteten Funktionen gilt ja „innere Ableitung mal äußere Ableitung“. Also bilden wir zuerst die innere Ableitung:

Die äußere Ableitung ist:

Weil die Ableitung der e-Funktion die e-Funktion ist.

Hierbei ist wieder daran zu denken, dass für x im Exponenten eigentlich steht.

Also ist die innere mal die äußere Ableitung:

wobei der 2. Teil ja genau entspricht. Also ist:

Zusammengefasst gilt also:

Exponentialfunktion

1. Ableitung

Weiteres Beispiel:

Umwandeln in die e-Funktion:

innere Anleitung ist:

(Produktregel anwenden)

äußere Ableitung ist:

und das entspricht

innere mal äußere Ableitung ist:

Also ist:

4 Anwendungen der Differentialrechnung

4.1 Kurvendiskussion

4.1.1 Einführung

Die Kurvendiskussion hilft uns, den graphischen Verlauf einer Funktion zu erkennen. Heute nehmen uns Programme wie Funktionsplotter oder graphische Taschenrechner diese Arbeiten weitgehend ab. Aber zum Verständnis wie der Graph einer Funktion aussieht, sind Kenntnisse zur Bestimmung von Kurvenmerkmalen wichtig. Diese Merkmale sind beispielsweise das Monotonieverhalten, Nullstellen oder Extremwerte der Funktion.

Über die Kurvendiskussion werden genau diese Merkmale herausgearbeitet, und können abschließend in einer Skizze dargestellt werden.

Bevor wir Beginnen, will ich erst einen kurzen Überblick geben, was alles nötig ist um eine Kurvendiskussion durchzuführen.

1.Die erste, zweite und dritte Ableitung der Funktion muss gefunden werden.

2.Der Definitionsbereich muss bestimmt werden. In der Regel kommen bei Abiturprüfungen ganzrationale Funktionen vor, deren Definitionsbereich die realen Zahlen sind. Kommt aber ein gebrochen rationale Funktion (x steht im Nenner der Funktion) vor, gibt es Grenzwerte oder Polstellen die beschrieben werden sollen.

3.Das Monotonieverhalten der Funktion. (Punkt- oder Achsensymmetrie)

4.Nullstellen der Funktion (Stellen an denen der Graph die x-Achse schneidet)

5.Extremwerte der Funktion (Hoch-, Tief- und Sattelpunkte)

6. Wendepunkte

7. Das Verhalten im Unendlichen.

8.Die Skizze

4.1.2 Ableitungen einer Funktion

Der erste Schritt der Kurvendiskussion ist immer das Finden von Ableitungen der Funktion. (gibt immer Punkte!)

Folgende Funktion ist gegeben:

1. Ableitung

2.Ableitung

3. Ableitung

4.1.3 Monotonieverhalten der Funktion

Wenn wir von Monotonieverhalten sprechen, meinen wir, in welchen Bereichen die Funktion steigt oder fällt. In den Bereichen, in denen sie steigt, ist sie monoton steigend ansonsten ist sie monoton fallend.

Wie bekommen wir nun raus, wo eine Funktion steigt oder fällt?

Wir wissen ja bereits, dass die erste Ableitung die Tangentensteigung der Funktion angibt. Also müssen wir nur herausfinden, wo die Tangentensteigungsfunktion positiv oder negativ ist. Denn dann können wir genau die Bereiche eingrenzen in denen die Funktion f (x) steigt oder fällt.

1. Ableitung

3 ausgeklammert

In der Klammer sehen wir jetzt x² - 4 . Die gesamte Funktion ist genau dann Null, wenn

(x² - 4) Null ergibt, denn 3 mal (0) ist ja bekanntlich Null.

Wenn also x den Wert 2 hat, ist der Funktionswert Null. Aber auch bei einem x-Wert von -2 ist der Funktionswert Null. Daraus können wir aber gleichzeitig folgern, dass links von x = -2 und rechts von x = 2 die Ableitungsfunktion positiv sein muss, und dadurch die Funktion auch monoton steigend ist. Das können wir überprüfen, indem wir verschiedene Werte in die Ableitungsfunktion einsetzen.

x = -3 positiv

x = -2 null

x = -1 negativ

x = 1 negativ

x = 2 null

x = 3 positiv

Man schreibt:

f(x) = monoton steigend für x < -2 und x > 2

(f von x ist monoton steigend für x kleiner –2 und x größer 2)

f(x) = monoton fallend für x > -2 und x < 2

Rechts ist der ungefähre Verlauf der Funktion skizziert. Man bekommt hier schon einen ersten Eindruck über die Kurvenform.

4.1.4 Symmetrieverhalten

Es gibt einige einfache Merkmale einer Funktion (Ganzrational), an den man klar ablesen kann, ob die Funktion Achsensymmetrisch ist. Achsensymmetrisch bedeutet hier, dass der Graph an einer Achse (x, y) gespiegelt ist.

Hat eine Funktion nur gerade Exponenten, ist sie achsensymmetrisch zur y-Achse.

Für die Punktsymmetrie gibt es auch ein Merkmal: (bei ganzrationalen Funktionen)

Hat eine Funktion nur ungerade Exponenten, ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung.

Es gibt aber auch Funktionen, die nicht zur y-Achse symmetrisch sind, aber trotzdem eine Achsensymmetrie besitzen.

Die Nebenstehende Funktion zeigt diesen Zusammenhang an der Funktion

Wie man sieht, ist die Symmetrieachse eine senkrechte Linie, welche die x-Achse im Punkt 2 schneidet. Wie die Funktion schon zeigt wird hier von jedem x-Wert zwei abgezogen und dadurch die Funktion um zwei Punkte nach rechts verschoben. Daraus kann man aber auch den Schluss ziehen, dass die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse währe, wenn man von jedem x-Wert 2 abzieht!

Auf unsere Ausgangsfunktion bezogen gilt also:

hat nur ungerade Exponenten (x = x¹), ist also punktsymmetrisch zum Ursprung.

4.1.5 Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion sind die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet, also der Funktionswert null ist.

Da wir eine Funktion haben, bei der die höchste Potenz eine 3 ist, können auch maximal 3 Nullstellen auftreten. Es können aber auch weniger sein.

Erste Nullstelle

Da die Funktion nur ungerade Exponenten aufweist, wissen wir aus dem Symmetrieverhalten, dass eine Nullstelle im Ursprung des Koordinatensystems liegen muss. Also ist eine Nullstelle bei

x₁ = 0.

Weitere Nullstellen

Da der Funktionswert (y-Wert) an einer Nullstelle null ist, setzen wir die Funktionsgleichung einfach zu null.

Die anderen Nullstellen bekommen wir durch Ausklammern von x.

Da bei einer Multiplikation das Ergebnis immer null ist, sobald ein Faktor null ist, liegt die Lösung auf der Hand. Eine Nullstelle ist x = 0, da der Faktor x vor der Klammer die eine Möglichkeit darstellt (Haben wir ja schon aus dem Symmetrieverhalten erkannt). Die zweite Möglichkeit, um die Multiplikation zu null werden zu lassen ist die Lösung der Klammer (x² - 12).

Da das eine quadratische Gleichung ist, lösen wir diese einfach mit der A-B-C Formel auf.

Unsere Komponenten sind

A=1 B=0 C=-12

Die beiden anderen Lösungen sind also x₂ = 3,4641 und x₃ = -3,4641

Unsere Funktion hat also drei Nullstellen und die sind.

x₁ = -3,4641 x₂ = 0 x₃ = 3,4641

Mit diesen Ergebnissen können wir unsere Funktion schon etwas genauer skizzieren.

4.1.6 Lokale Extremwerte ( Minimum, Maximum )

Unter lokalen Extremwerten versteht man die Punkte im Graph, bei denen die höchsten und tiefsten Punkte liegen. Lokal sind sie deshalb, weil wir ja nur ein beschränktes Intervall (Ausschnitt) betrachten. Links und rechts dieses Intervalls können die Funktionswerte größer oder kleiner sein.

4.1.7 Hochpunkte und Tiefpunkte

Eine Funktion hat dann einen Hochpunkt, wenn links und rechts keine Punkte liegen, die höher sind (logisch :-)

Das Gleiche gilt analog für Tiefpunkte

Weiterhin ist die Steigung der Tangente in diesem Punkt der Funktion null (Berggipfel/Tal). Diese Bedingung für eine Extremwert bezeichnet man auch mit grundlegende Bedingung.

4.1.8 Grundlegende Bedingung

Da wir bereits wissen, dass die erste Ableitung einer Funktion etwas über die Tangentensteigung aussagt, müssen wir diese nur zu null setzen um Punkte zu finden die eine Tangentensteigung von Null besitzen.

Erst Ableitung

Nullsetzen

Hier handelt es sich wieder um eine quadratische Gleichung, die wir mit der A-B-C Formel auflösen.

A=3 B=0 C=-12

Die erste Ableitung hat also zwei Nullstellen und die sind.

x₁ = -2 x₂ = 2

Wir wissen jetzt, dass unsere Funktion zwei lokale Extremwerte besitzt. Wir müssen aber noch prüfen, welcher ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist.

Diese Prüfung ist die sogenannte hinreichende Bedingung.

4.1.9 Hinreichende Bedingung

Überlegen wir, wie wir die beiden Punkte unterscheiden können. Dazu setzen wir die gefundenen Punkte in die zweite Ableitung für x ein, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse.

2. Ableitung

Negativ Positiv

Wir bekommen in der zweiten Ableitung einmal einen positiven und einmal einen negativen Wert.

Ein Hochpunkt in einer Funktion hat links davon immer eine positive Tangente und rechts eine Negative. Der Hochpunkt selbst hat eine Steigung von null.

Ein Tiefpunkt in einer Funktion hat links davon immer eine negative Tangente und rechts eine Positive. Der Tiefpunktpunkt selbst hat eine Steigung von null.

Da die Ableitung der Ableitung ( 2. Ableitung ) ja ebenfalls die Tangentensteigung der ersten Ableitung angibt, muss im entsprechenden x-Wert bei einem negativer Wert in der 2. Ableitung ein lokales Maximum darstellen. Ein positiver Wert ist dann ein Minimum.

Nach dem wir also festgestellt haben wo Extremwerte liegen, müssen wir diese nur noch in die 2. Ableitung einsetzen und das Ergebnis prüfen.

Positives Ergebnis in der 2. Ableitung = lokales Minimum

Negatives Ergebnis in der 2. Ableitung = lokales Maximum

4.1.10 Sattelpunkte

Sattelpunkte sind die Stellen einer Funktion an denen kein Maximum oder Minimum vorliegt, aber dennoch die erste Ableitung keine Tangentensteigung hat.

Sie werden genau wie Extremwerte gesucht. Die gefundenen x-Werte ergeben in der 2. Ableitung aber als Ergebnis eine null.

Ergebnis null in der 2. Ableitung = Sattelpunkt

Wie man sieht, hat die nebenstehende Funktion weder einen Hoch- noch einen Tiefpunkt. Die Stelle an der die Tangentensteigung Null ist, liegt hier ein Sattelpunkt.

Bei unserer Funktion ergab die hinreichende Bedingung allerdings einen Hochpunkt bei x = -2 (weil in der 2. Ableitung das Ergebnis negativ war) und einen Tiefpunkt bei x = 2 (Positive 2. Ableitung)

Einsetzen in die Ursprungsgleichung

Wir setzen die gefundenen Punkte noch in die Ursprüngliche Funktion ein um die y-Werte auszurechnen.

zu x = -2

zu x = 2

Wir haben also ein lokales Maximum bei

(-2 / 16)

und ein lokales Minimum bei

(2 / -16)

Man erkennt jetzt schon ziemlich genau den Verlauf der Funktion. Auch dass die Funktion keinen Sattelpunkt hat.

4.1.11 Wendepunkte

Ein Wendepunkt einer Funktion, lässt sich am einfachsten an einem anschaulichen Beispiel verdeutlichen. Stellt euch vor, ihr sitzt im Auto und fahrt auf einer Kurvenreichen Straße. Eine Rechts- und eine Linkskurve kommen direkt nacheinander.

Ihr fahrt jetzt in die Rechtskurve ein und müsst stark lenken, wenn ihr aber aus der Kurve ausfahrt, wird das Lenkrad wieder in Richtung seines Ursprungs zurück gedreht. Jetzt kommt irgendwann der Punkt, an dem die „Nullstellung“ des Lenkrades erreicht wird und ihr anfangt in die Linkskurve einzufahren.

Der Punkt zwischen den Kurven wo das Lenkrad auf seinem Ursprung steht ist ein Wendepunkt.

Wie man an der Grafik schon deutlich sieht, muss die Tangentensteigung am Wendepunkt am größten sein. Die erste Ableitung der Funktion muss hier also ein Maximum besitzen, und nach einem Maximum haben wir schon einmal gesucht.

Besitzt die erste Ableitung ein Maximum muss die zweite Ableitung genau dort eine Nullstelle haben.

1.Maximum der ersten Ableitung = Nullstelle der zweiten Ableitung

Funktion

1. Ableitung

2.Ableitung

3.Ableitung

Zweite Ableitung Nullsetzen

Nach x auflösen

Wir haben also eine Nullstelle im Koordinatenursprung gefunden, müssen aber noch prüfen, ob es sich wirklich um einen Wendepunkt handelt.

Dazu müssen wir prüfen ob an der Stelle des gefundenen Punktes die 3. Ableitung ungleich Null ist (sonst wäre es ja ein Sattelpunkt).

Da die 3. Ableitung konstant 6 ist, muss im Punkt 0 / 0 ein Wendepunkt sein.

4.1.12 Verhalten im Unendlichen

Im untenstehenden Graphen ist der Verlauf der Funktion

mit den gefundenen Merkmalen gezeichnet. Das Intervall (der Ausschnitt) das wir hier sehen, ist allerdings von ca. –5 bis +5 beschränkt. Die Funktion liefert aber für alle positiven und negativen x-Werte den entsprechenden y-Wert. Die Frage ist nun wie sich die Funktion im Unendlichen (-/+) verhält.

Da das Verhalten einer Funktion immer von dem Glied abhängt, dass x in der höchsten Potenz aufweißt, hier also x³, betrachten wir nur dieses Glied genauer.

Weiter ist klar, dass x im Nenner der Funktion nicht vorkommt und dadurch weder eine Polstelle noch ein Grenzwert vorliegt.

Durch x³ ist also ganz klar zu erkennen, dass bei großen x-Werten auch große y-Werte als Ergebnis auftauchen. Im positiven Bereich strebt die Funktion also gegen plus unendlich und im negativen x-Bereich gegen minus unendlich. (minus mal minus mal minus = minus)

Man sagt die Funktion divergiert

4.1.13 Andere Beispiele

Betrachten wir die einfache Funktion

Hier kann man deutlich sehen, dass bei steigenden x-Werten der Funktionswert immer kleiner wird und durch x² im positiven und im negativen. (minus mal minus = plus)

Man sagt, die Funktion konvergiert im unendlichen gegen Null.

Im Koordinatenursprung dagegen weißt die Funktion ein anderes Verhalten auf. Der Funktionswert wird bei immer kleineren x-Werten immer größer, erreicht aber nie die y-Achse.

Man sagt die x- und die y-Achse sind Asymptote

Gebrochen-rationale Funktionen

Die Funktion

hat im Nenner x stehen. Überlegen wir wie sich die Funktionsgleichung verhält wenn x den Wert 2 hat.

Wir teilen durch Null, und das ist bekanntlich nicht definiert. Also hat die Funktion an dieser Stelle eine Lücke. Die Funktion nähert sich von beiden Seiten dem Grenzwert von –1, erreicht ihn aber nicht. Kann man in diese Lücke einen Grenzwert, hier –1, einsetzen, sagt man die Lücke ist hebbar.

4.1.14 Skizze

Abschließend wird die Funktion noch (am besten auf Millimeterpapier) gezeichnet, und alle gefundenen Merkmale beschriftet.

4.2 Extremwertaufgaben

Der Bereich der Extremwertaufgaben beschäftigt sich damit, einen gegebenen Zusammenhang in einer Funktion abzubilden. Durch die Funktionsbeschreibung kann dann ein evtl. Hoch- oder Tiefpunkt ( Extremwert ) errechnet werden.

Oft sind es Aufgaben aus der Verpackungsindustrie, die versuchen z.B für ein Dosenvolumen die kleinstmögliche Oberfläche der Dose zu berechnen, um den Materialaufwand so klein wie möglich zu halten.

4.2.1 Beispielrechnung für eine Extremwertaufgabe

Aufgabe : Eine Blechdose mit 15 Liter (dm³) Inhalt, soll so gebaut werden, dass der Blechverbrauch minimal ist.

Der erste Ansatz ist hier, sich die Formeln für die beiden Bedingungen der Dose zu suchen. Diese Bedingungen sind erstens das Volumen der Dose, und zweitens die Oberfläche. Da die Oberfläche bei gegebenem Volumen ein Minimum haben muss, ist die Formel der Oberfläche die Extremalbedingung. Die zweite Formel zur Volumenberechnung ist die sogenannte Nebenbedingung

Extremalbedingung

Oberfläche = 2 × Grundfläche + Mantelfläche

O = 2 × P × r² + 2 × P × r × h

Nebenbedingung

Volumen = r² × P × h

In der Formel für die Oberfläche sind zwei Größen unbekannt ( r, h). Wir verändern deshalb die die Nebenbedingung so, dass h gesucht ist. Diese Formel können wir dann in die Extremalbedingung einsetzen. (Ist eigentlich nur die Anwendung des Einsetzungsverfahrens)

Im nächsten Schritt setzen wir h in die Extremalbedingung ein und vereinfachen den gefundenen Ausdruck

Jetzt haben wir die Funktion gefunden, bei der wir ein Minimum suchen. Zum weiteren Vorgehen müssen wir noch die 1. und 2.. Ableitung der Funktion suchen.

Funktion

1. Ableitung

2. Ableitung

Da wir schon wissen, dass die erste Ableitung einer Funktion die Tangentensteigungsfunktion ist, müssen wir diese nur zu Null setzen, und nach dem Radius (r) auflösen.

(Zur Erinnerung: Ist die Steigung einer Tangente 0, handelt es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt.)

Erste Ableitung Null setzen

1,337 dm

Nun wissen wir, dass bei einem Radius von 1,337 dm ein Hoch- oder Tiefpunkt der Funktion liegt. Durch Einsetzen des Wertes in die 2. Ableitung können wir erkennen, um was es sich handelt

(Ergebnis ist positiv = Minimum, Ergebnis ist negativ = Maximum)

r Einsetzen in die 2. Ableitung

= 37,67 Lokales Minimum

Da das Ergebnis positiv ist, handelt es sich um einen Tiefpunkt der Funktion.

Anders gesagt, bei einem gegebenen Volumen von 15 Litern und einem Radius von 1,337 dm ergibt sich ein Minimum an Materialverbrauch.

Zum Schluss setzen wir noch den gefundenen Radius in die Nebenbedingung ein, um die Höhe auszurechnen.

h = 2,673

Das Ergebnis unserer Aufgabe ist somit:

h = 2,673 dm r = 1,337 dm

Abschließend zeichnen wir die Funktion.

Die Funktionsgleichung in der „Normalform“ sieht so aus:

Wie man sieht, ist wirklich bei 1,337 ein Tiefpunkt der Funktion.

4.2.2 Eine Dose mit halbrundem Kopf

Die zweite Aufgabe ist etwas komplexer, aber kann auf die gleiche Weise gelöst werden.

Aufgabe:

Eine Dose (V=15 Liter ) soll einen halbrunden Aufsatz bekommen. Die Frage ist nun, bei welchem Verhältnis von Radius und Höhe die Oberfläche ein Minimum hat.

Extremalbedingung

Oberfläche = Boden + Mantelfläche + Halbkugel

O = P r² + 2 P r × h + 2 P r²

Nebenbedingung

Volumen = V_zylinder + V_Kugel

V = Pr² × h + 2/3 Pr³

Nebenbedingung umstellen nach h

Einsetzen von h in die Extremalbedingung

O = P r² + 2 P r × h + 2 P r²

O = P r² + 2 P r × () + 2 P r²

Zusammenfassen

Kürzen

Zusammenfassen

Funktion

1.Ableitung

2.Ableitung

Nullsetzen der ersten Ableitung

½ +2V/r²

½ / 2V

½ / r

½ Stürzen u. 3. Wurzel

Ergebnis in die 2. Ableitung einsetzen

Der gefundene Wert ist ein lokales Minimum

Abschließend setzen wir h in die Nebenbedingung ein, um die Höhe zu berechnen.

r = h

Der Materialverbrauch ist, egal welches Volumen der Behälter hat, am geringsten, wenn der Radius und die Höhe den gleichen Wert haben.

Abschließend zeichnen wir die Funktion.

Die Funktionsgleichung in der „Normalform“ sieht so aus:

4.2.3 Extremwertaufgabe „Zylinder im Kegel“

Aufgabe: In einem Kegel mit dem Verhältnis Höhe zu Durchmesser gleich 3/2, soll ein Zylinder mit maximalem Volumen gefunden werden.

Extramalbedingung

Nebenbedingung

Die Nebenbedingung wird uns von der Geradengleichung y=mx+b geliefert. Wir erstellen sie für die gestrichelte (blaue) Seite des Kegels. Ihre Steigung bekommen wir aus dem Verhältnis Aus h_k=-3 und r_k=1. Der Achsenabschnitt ist dann h_k=3.